سؤال للتحدي في الرياضيات

Admin عدد المساهمات : 189 تاريخ التسجيل : 17/10/2011

السلام عليكم أعضاء المنتدى. عيد مبارك سعيد .
اخترت لكم موضوع في الرياضيات للبحث .

نعلم أن كل عدد زوجي يكتب على شكل 2k حيث k عدد صحيح . مثال 86 تكتب على شكل 43*2 ( * يمثل رمز عملية الضرب)
وكل عدد فردي يكتب على شكل 2k+1 . مثال 15 تكتب على شكل 1+7*2

لنستثمر هذه المعطيات :
ليكن n عدد صحيح طبيعي
بين أن (n * ( n+1 هو عدد زوجي .و n²+n+1 هو عدد فردي

لدينا (n * ( n+1 تساوي n²+n

و لدينا n²+n+1 عدد فردي

اذن لدينا المعطيات التالية n²+n
n²+n+1

نلاحظ ان كل عدد فردي يوجد به الجمع ب1 اي لابد مثلا 2k+1 عدد فردي كما نلاحظ (+1) و اما العدد الزوجي فليس به (+1)

فهدا يدل على ان n²+n عدد زوجي (ليس به الجمع ب (+1))

هل هذا صحيح

Admin عدد المساهمات : 189 تاريخ التسجيل : 17/10/2011

هل هو زوجي أم فردي n²+n و لكن لا يمكن معرفة طبيعة العدد

؟؟؟؟؟؟؟

Admin عدد المساهمات : 189 تاريخ التسجيل : 17/10/2011

إستعمل الصيغ السابقة التي قمت بتقديمها

Admin عدد المساهمات : 189 تاريخ التسجيل : 17/10/2011

ياقوم هل من مجيب أم أتكفل بالإجابة

بالنسبة لحل التمرين فإن:
لنبين أن (n+1)n عدد زوجي:
نعوض n بعدد معين مثلا 5
يعني 5(5+1)
أي 25+5=30
و 30 تكتب على شكل 15*2 أي أنه عدد زوجي
و n²+n+1 عدد فردي
نعوض n ب5
5²+5+1=30+1
و هو عدد فردي

ما رأيك يا أستاذ

Admin عدد المساهمات : 189 تاريخ التسجيل : 17/10/2011

التعويض بعدد أو إثنين أو حتى 10 أعداد لا يستلزم في هذه الحالة التعميم
هذا السؤال يتطلب إستعمالا جيدا للمعطيات
يمكنكم التوصل للجواب بأنفسكم لذلك لن أتصرع بالإجابة وأنا أثق بقدراتكم

لدي حل آخر:
n²+n=2n²/2+2n/2=(2n²+2n)/2=(2n²+2n)*1/2=2(n²+n)*1/2=2(n²+n/2)
يعني أنه عدد زوجي والعدد الثاني فردي لاقترانه ب1

Admin عدد المساهمات : 189 تاريخ التسجيل : 17/10/2011

سوف أقدم لكم مثالا

لنبين أن m²+3m عدد زوجي

إذا كان
m عددا فرديا فإن m=2k+1 حسب معطيات السؤال في المنتدى

m²+3m =4k²+4k+1+6k+3=4k²+10k+4=2(2k²+5k+2)
حيث نعوض m ب 2k+1

نضع
2k²+5k+2=t
فنحصل على m²+3m=2t

ومنه m²+3m
عدد زوجي لأنه يكتب على شكل 2t

نفس الشيء إذا كان m زوجيا فإن m=2k

إذن m²+3m=4k²+6k=2(2k²+3k) حيث نعوض m ب 2k

نضع 2k²+3k=t’ نحصل على m²+3m=2t’

ومنه m²+3m عدد
زوجي لأنه يكتب على شكل 2t’

إذن m²+3m
عدد زوجي بصفة عامة

ماذا عن الحل الذي اقترحته يا أستاذ ؟؟؟

انطلاقا من المثال الأول الذي قدمه الأستاذ :

لدينا n(n+1)=n²+n

إذا كان n عددا فرديا فإن:
n=2k+1
إذن n²+n=4k²+1+2k+1=4k²+2k+2=2(2k²+k+1)
نضع : 2k²+k+1=a
إذن: n²+n=2a
إذن العدد n²+n عدد زوجي

إذا كان n عددا زوجيا:
n=2k
إذن: n²+n=4k²+2k=2(2k²+k)
نضع : 2k²+k=a
إذن : n²+n=2a
إذن العدد n²+n عدد زوجي في كلتا الحالتين

أما بالنسبة للعدد الثاني n²+n+1
فهو فردي لانه يساوي 2a+1

Admin عدد المساهمات : 189 تاريخ التسجيل : 17/10/2011

نعم ممتاز هذا هو الحل

Admin عدد المساهمات : 189 تاريخ التسجيل : 17/10/2011

عذرا لم أرى سؤالك الأول يا إلهام
لماذا الجواب
n²+n=2n²/2+2n/2=(2n²+2n)/2=(2n²+2n)*1/2=2(n²+n)*1/2=2(n²+n/2)
خاطئ
لان هناك معطى مهم
إذا كان
n فردي
فإن
n=2k+1
و إذا كان زوجيا
n=2k
الشرط المهم هو أن
k عدد صحيح
نسبي أو طبيعي المهم صحيح
والمثال المضاد إن لم نحترم هذا الشرط
3 = 2 * 3/2
إذا اعتبرنا k=3/2
فإن 3 عدد زوجي و هذا خطا

» كتاب ممتع ألغاز في الرياضيات
» ثقافة الرياضيات
» أولمبياد الرياضيات
» تاريخ الرياضيات
» أشهر قصص علماء الرياضيات